1890年，克莱因在一般拉梅函数理论中，提出了自守函数。
是一种亚纯函数，给复流形的解析变换下的离散群不变，f(γ(x))=f(x)，x属于M，γ属于离散群Γ。
自守函数是三角函数和椭圆函数的推广，是数学中分析、代数和几何理论交叉的产物。
出现这样的结果，往往是多个数学家的共同研究，共同承认结果。
一个数学家，提出一个新的东西，只有很多同行朝着这个方向研究，甚至竞争，才能在正确和适当的时间内，被广泛的承认和传播，数学家此刻会名声鹊起。
而如果一个数学家提出一个新东西，同行们没有朝着这个方向研究，就不会出名，换句话说，这就是研究的太超前了，超越了当时这个时代。
自守函数属于第一种情况。
克莱因对罗伯特·弗里克说：“分析学的发展，你了解多少了？”
弗里克说：“微积分发展的时候开始扩展微积分的主要内容，其中研究钟摆和拉杆的问题。遇到了椭圆和双曲弧长中的无理函数积分，成为椭圆积分。”弗里克说着，写出了一个这样的函数，是一种积分公式，是椭圆积分近似表示。
然后看着公式，继续说：“这个函数不能用代数函数、圆函数、对数函数和指数函数。这种无理函数确实是个迷人的问题，同时也越来越普遍了。还推广到复数域。最后出现了勒让德称霸四十年的那个椭圆函数。阿贝尔和雅克比发现了椭圆函数反函数中，有类似三角函数的性质。”
克莱因接着说：“对于微分学的发展，你了解多少？”
弗里克说：“有常微分和偏微分方程。跟物理学有关，力学向电磁学发展过来的，最后出现了复杂的物理运动，比如风帆运动、薄膜震动、行星运动和弦振动。以上有很多二阶线性微分方程。解决方法有几何法、不变量理论方法、群论方法，其中群论方法最成功。其中研究的最重要的是超几何方程，许多重要方程都是这个方程的特殊情形。”
弗里克继续开始写，一边写一边想着说：“它是以1、0和无穷大作为奇点的二阶线性常微分方程。欧拉给级数解，高斯研究收敛性。然后常微分方程研究进入一个新的历程，就是奇点理论，一阶奇点领域内有特定形式级数解。从一阶奇点的解推广到高阶奇点的解。”
弗里克继续兴奋的说：“黎曼找到了亚纯函数的奇点，亚纯函数在复平面上不是单值”
弗里克开始一边画图，一边说：“方程一组基本解系，当自变量绕着某个奇点解析延拓一周后，解系变换到另外一个单值解析分支中去。这些基本解系之间，存在线性关系。所有路径解析开拓得到的相应变换集合，被埃尔米特称之为方程的单值群。富克斯在黎曼基础上，推进超几何方程研究，研究n阶微分方程问题。证明奇点在奇异系数的地方，激发大家用系数研究微分方程。”
弗里克激情说完后，克莱因说：“代数学的研究，你了解多少？”
弗里克说：“这好像是你擅长的吧。”
克莱因说：“我的代数方程的几何理论，涉及到有限变换群，推广到无限离散变换群。”
弗里克说：“你刚刚东拉西扯一堆是？”
克莱因说：“我把分析学、微分学和代数学三合一，找到了一种自守形式。我的思想几何化，用几何学和群的观点研究5次以及5次以上代数方程和线性常微分方程。”
弗里克恍然大悟。
克莱因说：“我成功的从20面体中获得5次代数方程完整理论。通过5次方程线性变换关系，以及斯瓦兹对三角函数理论的合作研究，研究椭圆函数模形式。”
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