第571章 林格尔猜想
点面结合构成了一个个图形，关于这些图我们可以想出各种问题，比如：如何让多个简单的小图副本完美地重构（覆盖）一张大图？
这就像你面对家里厨房的地板发问：我可以用商店中任意一种同尺寸的瓷砖完全覆盖整个地板吗？在现实生活中，不可能每一款瓷砖都适用于你家的厨房，一般来说必须组合不同形状的瓷砖（或者切割）才能覆盖整个地板。但是在特定的图形世界中，这个想法或许可以达成。
1963年，一位名叫格哈德·林格尔（Gerhard Ringel）的德国数学家提出了一个大胆的猜想：一些特定的图形总是可以被n个小图副本完美覆盖。对此，他指出：任给一棵具有 n 条边的树 T，都能在2n+1阶完全图K2n+1中找到不重合且同构于T的2n+1个子图（即2n+1个T副本可以被完美地填充到K2n+1中）
为了证明林格尔的猜想，人们发展与利用了多种数学工具，比如：概率方法、正则引理等，但似乎总有漏洞。
近日，苏黎世瑞士联邦技术学院的本尼·苏达科夫（Benny Sudakov）、伯明翰大学的理查德·蒙哥马利（Richard Montgomery）和伦敦伯克贝克大学的亚历克斯·波克洛夫斯基（Alexey Pokrovskiy）三名数学家发表的相关论文或许给证明这个困惑了人们将近60年的数学猜想带来了希望。
01 林格尔猜想是什么？完整图形和树图
发布这个猜想，林格尔提出了一些基本概念：首先，从大于3的任何奇数个点开始（这个数字必须是奇数才能使推测合理），在它们之间绘制边，以便每个点都与其他所有点相连，这样创建的图形称为完整图形。
一个拥有5个点的完整图形
接下来，我们看一下另一种类型的图。它可以是一条简单的路径；也可以有其他分支，当然我们还可以在分支上继续添加分支，只要它不包含任何闭环，就可以根据需要使图更复杂，我们把这种类型的图称为树。
简单或复杂的树图
林格尔猜想是关于完整图和树之间的关系。
他说：首先，想象一个包含2n+1个点的完整图形。然后思考使用n+1个点可以制作多少棵树，事实上可以做出很多种完全不同的树。
现在，选择其中一棵树并将其放置，以使树的每个边与完整图形中的边重合。然后，将同一棵树的另一个副本放在整个图形的不同部分上。
林格尔预测，假设你从正确的地方开始放置并持续这个动作，那么你将能够完美地复制出上面的完整图形。这意味着完整图形中的每个边都被树的每条边覆盖，且树的任何副本都不会相互重叠。
完美复制
如何理解这个猜想呢？
当已知一个完整图，如果它的点数为n（大于3且为奇数），那么该图肯定可以被n个子图完美覆盖，且子图的形状为具有(n-1)/2条边的树图；反之，如果已知一个具有m条边的树图，那么用2m+1个该树图可以构成一个具有2m+1个点的完整图。
林格尔的猜想似乎适用于11、21、31个点的完整图形，但是随着点越来越多，完整图形逐渐复杂起来，这个猜想还成立吗？
这个范围虽然很广泛，但数学界有理由相信林格尔的猜想可能是正确的。最直接的理由是：具有2n+1个点的完整图形中的边数总是可以被具有n+1个点的树中的边数等分。
事实上，数学家们很快找到了另一条证据，表明该猜想至少是可行的。
02 旋转方法带来新问题：如何放置第一颗树
林格尔发布猜想后不久，加拿大一位名叫安东·科齐格（Anton Kotzig）的斯洛伐克裔数学家使用此示例做出了比林格尔更大胆的预测。林格尔表示，每个具有2n+1个点的完整图都可以由具有n条边的任何树图平铺；科齐格则推测，平铺总是可以旋转的方式完成。
如果想探究他们的猜想，简单的星形树图是或许是一个不错的起点。
最简单的树图之一是星形：有一个中心点，其他边从中心辐射出来。但它不同于典型的星形图，因为边不必在点周围均匀排列，只需从同一位置向外延伸，除了在中央点之外，不能在其他任何地方相交。
简单的星形树图
确实，数学家很快观察到，具有n+1个点的星形树始终可以完美地复制到具有2n+1个点的完整图形。单单这个事实就很有趣，但是如何证明却让数学家们犯了难。
举一个简单的案例。从11个点开始，将这些点排列成一个圆形，然后将每个点与其他每个点相连以形成一个完整图（如下图）。
相连之后的完整图
然后再设想一个星形树:1个中心点，5条边从该点延伸出去（如下图）。
星形树
接下来，放置星形以使中心点与完整图中的一个点对齐，然后开始旋转，这时你将拥有一个新的星形树副本，该副本与完整图形上的另外一部分重合。
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